Defesa de Doutorado de Alfredo Roque de Oliveira Freire Filho

Frequentemente, a prática de ZF inclui o uso metateórico da noção de classes como forma de abreviar expressões ou simplificar o entendimento de recursos conceituais. A teoria NBG expressa formalmente a internalização desse recurso na teoria dos conjuntos; nesse caso, as classes, antes usadas metateoricamente, passam a ser capturadas também pelas quantificações da teoria de primeira ordem. Apesar disso, existe uma opinião bastante difundida de que essa internalização do uso de classes é inofensivo. Nesse contexto, é comum referir-se a conservatividade de NBG em relação ZF como condição suficiente para entender as teorias como ``equivalentes'', atribuindo-se um sentido de virtualidade ao uso de classes quantificadas em NBG. Acreditamos, porém, que uma técnica usada para estabelecer relações entre teorias não é necessariamente neutra em relação aos seus resultados - por isso, uma conservatividade estabelecida através de modelos tem significado e profundidade diferente da mesma relação estabelecida finitariamente por interpretações. Entendemos, portanto, que o modo pelo qual estabelecemos relações entre teorias influencia no resultado da análise. Para o caso da relação entre NBG e ZF, uma vez que NBG é finitamente axiomatizável e ZF não, entendemos ter motivos suficientes para acreditar que o uso de diferentes ferramentas de análise pode revelar diferenças tais como expressividade, comprometimento ontológico e conservatividade lógica. Por isso, esse projeto tem como objetivo esclarecer as relações entre essas duas teorias através de triangulações entre elas e as diferentes ferramentas de análise. O uso de técnicas finitárias, nesse caso, pode revelar uma maior expressividade e comprometimento ontológico de NBG em relação a ZF - relação obscurecida por uma abordagem infinitária. Entendemos que, através dessa pesquisa, poderemos contribuir para o debate sobre a fundamentação da matemática, desnaturalizando o uso supostamente ``equivalente'' de NBG e ZF para essa finalidade.